(1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同

（1）规定0! = 1       

（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = 

特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

(2)典型例题

考点一:排列问题

例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

　（1）甲不站两端；

　（2）甲、乙必须相邻；

　（3）甲、乙不相邻；

　（4）甲、乙之间间隔两人；

　（5）甲、乙站在两端；

　（6）甲不站左端，乙不站右端.

考点二:组合问题

例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

　（1）男运动员3名，女运动员2名；

　（2）至少有1名女运动员；

　（3）队长中至少有1人参加；

　（4）既要有队长，又要有女运动员.

考点三:综合问题

例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

　（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

　（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

　（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

当堂测试

1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（    ）

A.70 种        B.80种         C.100 种        D.140 种

2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）

A.48 种        B.12种        C.18种       D.36种

3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（      ）

A.48          B.12           C.180           D.162

4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（    ）

A.150种      B.180种        C.300种       D.345种

5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（     ）

A.6        B.12     C.30     D.36

6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（      ）

A．324              B.328         C.360          D.648

7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（   ）

A.85      B.56        C.49            D.28

8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（    ）

A.18          B.24          C.30          D.30

9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是      （     ）

A.360            B.288            C.216            D.96

参考答案：

（2）方法一  至少1名女运动员包括以下几种情况：　1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.　由分类加法计数原理可得总选法数为

例3 解  （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另  外2个盒子内，由分步乘法计数原理，

（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.

1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有   （    ）

A.70 种        B.80种         C.100 种        D.140 种解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有

种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （    ）

A.48 种        B.12种        C.18种       D.36种解析：

合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最

共有24+12=36种选法。解题策略：1.特殊元素优先安排的策略。               

2.合理分类与准确分步的策略。              

3.排列、组合混合问题先选后排的策略。

3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为       （      ）

A.48          B.12           C.180           D.162

解题策略：

1.特殊元素优先安排的策略。          

2.合理分类与准确分步的策略。          

3.排列、组合混合问题先选后排的策略。

4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（    ）

A.150种      B.180种        C.300种       D.345种

解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有

解题策略：合理分类与准确分步的策略。

5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（     ）

A.6        B.12     C.30     D.36 

的选法。解题策略：

（1）特殊元素优先安排的策略，

（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（    ）

A.18          B.24          C.30          D.30

注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。

解题策略：

1.正难则反、等价转化的策略

2.相邻问题捆绑处理的策略

3.排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，

3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（     ）

A.360            B.288            C.216            D.96

本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：

    （1）特殊元素优先安排的策略：

　（2）合理分类与准确分步的策略；

　（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

　（4）正难则反、等价转化的策略；

　（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略。

解排列组合的应用题要注意以下几点：

仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。

深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。

对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。