试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=

A ．32i -

B ．32i +

C ．32i --

D ．32i -+

2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =

A ．{}3

B ．{}5

C ．{}3,5

D ．{}1,2,3,4,5,7

3．函数2e e ()x xf x x--=的图象大致为

4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为

A ．0.6

B ．0.5

C ．0.4

D ．0.3

6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>

A．y =根号3

B．y =根号2

C．y =根号5/2

D．y =根号3/2

7．在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =

A．根号3

B.根号29

C.根号30

D.根号5

8．为计算11111123499100S =-+-++- ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A ．1i i =+

B ．2i i =+

C ．3i i =+

D ．4i i =+

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为

A

B

C

D

10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是 A ．

π4 B ．π2 C ．3π4

D ．π 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为

A

B

C

D

1 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．

14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．

15．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若S A B△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型②：ˆ9917.5yt =+．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．

20．（12分）

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

21．（12分）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++．

（1）若3a =，求()f x 的单调区间；

（2）证明：()f x 只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 绝密★启用前

参考答案

一、选择题

1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A

8．B

9．C

10．C

11．D

12．C

二、填空题

13．y =2x –2 14．9 15．

3

2

6．8π

三、解答题 17．解：

（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．

所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．

所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．

18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

19．解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以

OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BCAC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=1

2AC=2．

由2OP OB PB+=知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC，∠ACB =45°． 所以OM，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠． 所以点C 到平面POM

20．解：

（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．

由2(1)4y k x y x

=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2

16160k ∆=+=，故2122

24k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k

+=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．

（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．

设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则

00220005(1)(1)16.2

y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为

22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．

21．解：

（1）当a =3时，f （x ）=3213333

x x x ---，f ′（x ）=263x x --． 令f ′（x ）=0解得x=3-x=3+当x ∈（–∞，3-3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x∈（3-3+ f ′（x ）<0．

故f （x ）在（–∞，3-3++∞）单调递增，在（3-3+单调递减．

（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301

x a x x -=++． 设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．

又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．

综上，f （x ）只有一个零点． 【注】因为211()(1)(13)33f x x x x a -=++--，22131()024x x x ++=++>，所以1(13)03f a +=>，2(23)(1)0f a x x -+=-++<． 综上，f （x ）只有一个零点．

22．解：

（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，

当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

23．解：

（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．

（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．